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　　1.6 樹與二叉樹(學(xué)吧學(xué)吧獨(dú)家稿件)

　　1、樹的基本概念

　　樹是一種簡(jiǎn)單的非線性結(jié)構(gòu)。在樹這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，所有數(shù)據(jù)元素之間的關(guān)系具有明顯的層次特性。

　　在樹結(jié)構(gòu)中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)只有一個(gè)前件，稱為父結(jié)點(diǎn)。沒有前件的結(jié)點(diǎn)只有一個(gè)，稱為樹的根結(jié)點(diǎn)，簡(jiǎn)稱樹的根。每一個(gè)結(jié)點(diǎn)可以有多個(gè)后件，稱為該結(jié)點(diǎn)的子結(jié)點(diǎn)。沒有后件的結(jié)點(diǎn)稱為葉子結(jié)點(diǎn)。

　　在樹結(jié)構(gòu)中，一個(gè)結(jié)點(diǎn)所擁有的后件的個(gè)數(shù)稱為該結(jié)點(diǎn)的度，所有結(jié)點(diǎn)中最大的度稱為樹的度。樹的最大層次稱為樹的深度。

　　2、二叉樹及其基本性質(zhì)

　　(1)什么是二叉樹

　　二叉樹是一種很有用的非線性結(jié)構(gòu)，它具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：1)非空二叉樹只有一個(gè)根結(jié)點(diǎn);2)每一個(gè)結(jié)點(diǎn)最多有兩棵子樹，且分別稱為該結(jié)點(diǎn)的左子樹與右子樹。

　　*：根據(jù)二叉樹的概念可知，二叉樹的度可以為0(葉結(jié)點(diǎn))、1(只有一棵子樹)或2(有2棵子樹)。

　　(2)二叉樹的基本性質(zhì)(學(xué)吧學(xué)吧獨(dú)家稿件)

　　性質(zhì)1 在二叉樹的第k層上，最多有2^k-1(k≥1)個(gè)結(jié)點(diǎn)。

　　性質(zhì)2 深度為m的二叉樹最多有個(gè)2^m-1個(gè)結(jié)點(diǎn)。

　　性質(zhì)3 在任意一棵二叉樹中，度數(shù)為0的結(jié)點(diǎn)(即葉子結(jié)點(diǎn))總比度為2的結(jié)點(diǎn)多一個(gè)。

　　性質(zhì)4 具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹，其深度至少為[log₂n]+1，其中[log₂n]表示取log₂n的整數(shù)部分。

　　3、滿二叉樹與完全二叉樹

　　滿二叉樹：除最后一層外，每一層上的所有結(jié)點(diǎn)都有兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)。

　　完全二叉樹：除最后一層外，每一層上的結(jié)點(diǎn)數(shù)均達(dá)到最大值;在最后一層上只缺少右邊的若干結(jié)點(diǎn)。

　　*：根據(jù)完全二叉樹的定義可得出：度為1的結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0或1。

　　下圖a表示的是滿二叉樹，下圖b表示的是完全二叉樹：

　　完全二叉樹還具有如下兩個(gè)特性：

　　性質(zhì)5 具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹深度為[log₂n]+1。

　　性質(zhì)6 設(shè)完全二叉樹共有n個(gè)結(jié)點(diǎn)，如果從根結(jié)點(diǎn)開始，按層序(每一層從左到右)用自然數(shù)1，2，…，n給結(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，則對(duì)于編號(hào)為k(k=1，2，…，n)的結(jié)點(diǎn)有以下結(jié)論：

　�、偃鬹=1，則該結(jié)點(diǎn)為根結(jié)點(diǎn)，它沒有父結(jié)點(diǎn);若k>1，則該結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)的編號(hào)為INT(k/2)。

　�、谌�2k≤n，則編號(hào)為k的左子結(jié)點(diǎn)編號(hào)為2k;否則該結(jié)點(diǎn)無左子結(jié)點(diǎn)(顯然也沒有右子結(jié)點(diǎn))。

　�、廴�2k+1≤n，則編號(hào)為k的右子結(jié)點(diǎn)編號(hào)為2k+1;否則該結(jié)點(diǎn)無右子結(jié)點(diǎn)。

　　4、二叉樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

　　在計(jì)算機(jī)中，二叉樹通常采用鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)。

　　與線性鏈表類似，用于存儲(chǔ)二叉樹中各元素的存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)也由兩部分組成：數(shù)據(jù)域和指針域。但在二叉樹中，由于每一個(gè)元素可以有兩個(gè)后件(即兩個(gè)子結(jié)點(diǎn))，因此，用于存儲(chǔ)二叉樹的存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)的指針域有兩個(gè)：一個(gè)用于指向該結(jié)點(diǎn)的左子結(jié)點(diǎn)的存儲(chǔ)地址，稱為左指針域;另一個(gè)用于指向該結(jié)點(diǎn)的右子結(jié)點(diǎn)的存儲(chǔ)地址，稱為右指針域。

　　*：一般二叉樹通常采用鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)，對(duì)于滿二叉樹與完全二叉樹來說，可以按層序進(jìn)行順序存儲(chǔ)[注釋1] 。

　　5、二叉樹的遍歷(學(xué)吧學(xué)吧獨(dú)家稿件)

　　二叉樹的遍歷是指不重復(fù)地訪問二叉樹中的所有結(jié)點(diǎn)。二叉樹的遍歷可以分為以下三種：

　　(1)前序遍歷(DLR)：若二叉樹為空，則結(jié)束返回。否則：首先訪問根結(jié)點(diǎn)，然后遍歷左子樹，最后遍歷右子樹;并且，在遍歷左右子樹時(shí)，仍然先訪問根結(jié)點(diǎn)，然后遍歷左子樹，最后遍歷右子樹。

　　(2)中序遍歷(LDR)：若二叉樹為空，則結(jié)束返回。否則：首先遍歷左子樹，然后訪問根結(jié)點(diǎn)，最后遍歷右子樹;并且，在遍歷左、右子樹時(shí)，仍然先遍歷左子樹，然后訪問根結(jié)點(diǎn)，最后遍歷右子樹。

　　(3)后序遍歷(LRD)：若二叉樹為空，則結(jié)束返回。否則：首先遍歷左子樹，然后遍歷右子樹，最后訪問根結(jié)點(diǎn)，并且，在遍歷左、右子樹時(shí)，仍然先遍歷左子樹，然后遍歷右子樹，最后訪問根結(jié)點(diǎn)。

　　注釋1：這樣，不僅節(jié)省了存儲(chǔ)空間，又能方便地確定每一個(gè)結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)與左右子結(jié)點(diǎn)的位置，但順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)對(duì)于一般的二叉樹不適用。

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