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    2010年考研:數(shù)學(xué)線性代數(shù)強化復(fù)習(xí)重點及方法

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      考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)相比較高等數(shù)學(xué)和概率論的復(fù)習(xí)而言,呈現(xiàn)明顯的知識點,概念多、定理多、符號多、運算規(guī)律多、內(nèi)容相互縱橫交錯,知識前后緊密聯(lián)系。因此,考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)暑期復(fù)習(xí)重點應(yīng)充分理解概念,掌握定理的條件、結(jié)論、應(yīng)用,熟悉符號意義,掌握各種運算規(guī)律、計算方法,并及時進行總結(jié),抓聯(lián)系,使學(xué)知識能融會貫通,舉一反三。為了讓考生在暑期復(fù)習(xí)中能將線性代數(shù)提高到一個新的層次,這里考研教育網(wǎng)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)名師給大家重點說一下歷年考研重點及復(fù)習(xí)思路。

      1.行列式的重點是計算,利用性質(zhì)熟練準確的計算出行列式的值。

      2.矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外,主要也是運算,其運算分兩個層次:

      (1)矩陣的符號運算

      (2)具體矩陣的數(shù)值運算

      3.關(guān)于向量,證明(或判別)向量組的線性相關(guān)(無關(guān)),線性表出等問題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)(無關(guān))的概念及幾個相關(guān)定理的掌握,并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。

      4.向量組的極大無關(guān)組,等價向量組,向量組及矩陣的秩的概念,以及它們相互關(guān)系也是重點內(nèi)容之一。用初等行變換是求向量組的極大無關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。

      5.于特征值、特征向量,要求基本上有三點:

      (1)要會求特征值、特征向量,對具體給定的數(shù)值矩陣,一般用特征方程∣λE-A∣=0及(λE-A)ξ=0即可,抽象的由給定矩陣的特征值求其相關(guān)矩陣的特征值(的取值范圍),可用定義Aξ=λξ,同時還應(yīng)注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用。

      (2)有關(guān)相似矩陣和相似對角化的問題,一般矩陣相似對角化的條件。實對稱矩陣的相似對角化及正交變換相似于對角陣,反過來,可由A的特征值,特征向量來確不定期A的參數(shù)或確定A,如果A是實對稱陣,利用不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交,有時還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2(λ2≠λ1)對應(yīng)的特征向量,從而確定出A.

      (3)相似對角化以后的應(yīng)用,在線性代數(shù)中至少可用來計算行列式及An.

      6.將二次型表示成矩陣形式,用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個:

      (1)化二次型為標準形,這主要是正交變換法(這和實對稱陣正交相似對角陣是一個問題的兩種提法),在沒有其他要求的情況下,用配方法得到標準形可能更方便些。

      (2)二次型的正定性問題,對具體的數(shù)值二次型,一般可用順序主子式是否全部大于零來判別,而抽象的由給定矩陣的正定性,證明相關(guān)矩陣的正定性時,可利用標準形,規(guī)范形,特征值等到證明,這時應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。

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