數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練題四

　　一.選擇題

　　1.設(shè)全集 = ， ， ，則 等于

　　A. B. C. D. 2. 的展開式中，含有 的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有

　　A.4項(xiàng) B.3項(xiàng) C.2項(xiàng) D.1項(xiàng)

　　3.高三(10)班甲、乙兩位同學(xué)6次數(shù)學(xué)測試的成績?nèi)缦卤恚?/P>

　　　僅從這6次考試成績來看，甲、乙兩位同學(xué)數(shù)學(xué)成績穩(wěn)定的情況是

　　A.甲穩(wěn)定 B.乙穩(wěn)定 C.甲與乙一樣穩(wěn)定 D.不能確定

　　4.設(shè) 為不同的平面， 為不同的直線，則 的一個充分不必要條件是

　　A. B. C. D. 5.在 中，已知 ，則

　　A. . B. .

　　C. D. 6.已知定義在R上的函數(shù) 滿足下列三個條件：

　�、賹θ我獾膞∈R都有 ②對于任意的 ，都有 ③ 的圖象關(guān)于y軸對稱. 則下列結(jié)論中，正確的是

　　A. B.

　　C. D. 7.A、B、C、D、E五個人住進(jìn)編號為1，2，3，4，5的五個房間，每個房間只住一人，則B不住2號房間，且B，C兩人要住編號相鄰房間的住法種數(shù)為

　　A.24 B.36 C.48 D.60

　　8.橢圓 的中心、右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)、右準(zhǔn)線與 軸的交點(diǎn)依次為O、F、A、H，則 的最小值為

　　A.2 B.3 C. 4 D.不能確定

　　9.某學(xué)校的生物實(shí)驗(yàn)室里有一個魚缸，里面有12條大小差不多的金魚，8條紅色，4條黑色，實(shí)驗(yàn)員每次都是隨機(jī)的從魚缸中有放回的撈取1條金魚.若該實(shí)驗(yàn)員每周一、二、三3天有課，且每天上、下午各一節(jié)，每節(jié)課需要撈一條金魚使用，用過放回.則該實(shí)驗(yàn)員在本周有課的這三天中，星期一上、下午所撈到的兩條金魚為同色，且至少有一天撈到不同的顏色金魚的概率是

　　A. B. C. D. 10.設(shè)方程 的兩根為 ， ( < )，則

　　A. B. C. D.

　　二、填空題

　　11.在坐標(biāo)平面上，不等式組 所表示的平面區(qū)域的周長為 ▲ .

　　12.已知函數(shù) 的圖象與直線 的交點(diǎn)中最近的兩點(diǎn)間的距離為 ，則函數(shù) 的最小正周期等于 ▲

　　13.球O上兩點(diǎn)A、B間的球面距離為 ， 有一個內(nèi)角為 ，則此球的體積是 ▲ .

　　14.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為 ，則其離心率為 ▲ .

　　15.若直線 始終平分圓 的周長，則 的最小值為 ▲ .

　　16.已知函數(shù) ( )，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2.定義 是函數(shù) 的值域中的元素個數(shù)，數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ，則滿足 的最大正整數(shù)n= ▲ .

　　三、解答題：本大題共5小題，共70分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

　　17. 中，角A、B、C所對的邊分別為 、 、 ，已知 (1)求 的值; (2)求 的面積。

　　18. 已知 ,點(diǎn) 在 軸上，點(diǎn) 在 軸的正半軸上，點(diǎn) 在直線 上，且滿足 ， 。

　　(1)當(dāng)點(diǎn) 在 軸上移動時，求 點(diǎn)的軌跡 的方程;

　　(2)設(shè) 為軌跡 上兩點(diǎn)， ， ， ，若存在實(shí)數(shù) ，使 ，且 ，求 的值。

　　19.如圖，已知正三棱柱 中， ， ，三棱錐 中， ，且 。

　　(1)求證： ;

　　(2)求二面角 的大小;

　　(3)求點(diǎn) 到平面 的距離。

　　20.設(shè)函數(shù) ，已知 ，且 (a∈R，且a≠0)，函數(shù) (b∈R，c為正整數(shù))有兩個不同的極值點(diǎn)，且該函數(shù)圖象上取得極值的兩點(diǎn)A、B與坐標(biāo)原點(diǎn)O在同一直線上。

　　(1)試求a、b的值;

　　(2)若 時，函數(shù) 的圖象恒在函數(shù) 圖象的下方，求正整數(shù) 的值。

　　21.已知數(shù)列{an}滿足 ， ， ， 為正數(shù)　.

　　(1)若 對 恒成立，求m的取值范圍;

　　(2)是否存在 ，使得對任意正整數(shù) 都有 ?若存在，求出 的值;若不存在，請說明理由。

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