構(gòu)造問題又稱為最值問題,是國考、省考中的重點、難點。近5年來,每年國考都會出現(xiàn)1-2題。而構(gòu)造問題中,又以構(gòu)造數(shù)列類問題最為令人犯難。由于在初高中應(yīng)試教育中幾乎沒有出現(xiàn)過此類題型,導(dǎo)致很多考生看到其后無從下手,沒有思路。其實,考生簡單訓(xùn)練后,掌握解決此類題型的思維、固有步驟,就可以快速解答之。
什么樣的題目算是構(gòu)造數(shù)列類問題呢?我們總結(jié)出此類題型基本具有如下特征:“最……最……”或者“排名第……最……”。
具體我們看一道真題:
100人參加7項活動,已知每個人只參加一項活動,而且每項活動參加的人數(shù)都不一樣,那么,參加人數(shù)第四多的活動最多有幾個人參加?( )
A. 22 B. 21 C. 24 D. 23
題中有“第四……最多……”的特征,是一道構(gòu)造數(shù)列問題。在文章的最后,我們再來解答這道真題。下面我們通過一道例題及其幾種變形,講解構(gòu)造數(shù)列題型所涵蓋的幾種形式以及其對應(yīng)的解題思路、流程。
【例1】5個小朋友分40塊糖,已知每個小朋友分得的糖數(shù)不同且必須分到糖,問分得糖數(shù)最多的小朋友最多可以分到多少塊糖?()
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
看到題目后,發(fā)現(xiàn)“最多……最多……”的特征,確定此題為一道構(gòu)造數(shù)列問題。首先,題干中有5個小朋友,且分得糖數(shù)各不相同,那么他們必然可基于分得的糖數(shù)進行排序,不妨令分得最多的小朋友為A,第二多的為B,以此類推,C、D、E分別為第三、第四、第五。要使A分得的最多,那么就要使B、C、D、E分得的糖盡量少。那如何使B、C、D、E盡量少呢?我們可以推斷,當(dāng)他們分別分到4、3、2、1塊糖時,滿足“盡量少”、“各不相同”,那么此時A分得的糖也就是最多的。A此時分得了多少塊糖?一共有40塊糖,即五人分糖總數(shù)為40,即A+4+3+2+1=40,所以A=30,因而答案為C。
從此題中我們可以歸納出解決此類問題的一般套路:①排序,②定位,③構(gòu)造數(shù)列,④求和。
那么如何直接使用此套路解題呢?四個步驟分別如何操作呢?我們再來看一道例題。
【例2】5個小朋友分40塊糖,已知每個小朋友分得的糖數(shù)不同且必須分到糖,問分得糖數(shù)最多的小朋友最少可以分到多少塊糖?()
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
題目中有“最多……最少……”,又是構(gòu)造數(shù)列的問題。下面我們直接套用解題套路:①排序:根據(jù)5個小朋友分糖數(shù)量排列最多到最少分別為A、B、C、D、E。
、诙ㄎ唬何覀円蟮氖亲疃嗟男∨笥袮的糖的數(shù)量,即定位A,設(shè)其糖數(shù)為X。
、蹣(gòu)造數(shù)列:要使A的糖最少,即要使其余4人的糖盡量多,而他們又都少于A且各不相同,那么他們的糖數(shù)分別為X-1,X-2,X-3,X-4才能滿足“盡量多”。
、芮蠛停5人的糖數(shù)加起來共40塊,即X+X-1+X-2+X-3+X-4=40,求得X=10,所以A最少分得10塊糖,答案為C。
那么我們再來看看使用該套路能否解決構(gòu)造數(shù)列問題的其它變形。
【例3】5個小朋友分40塊糖,已知每個小朋友分得的糖數(shù)不同且必須分到糖,問分得糖數(shù)最少的小朋友最多可以分到多少塊糖?()
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
發(fā)現(xiàn)是構(gòu)造數(shù)列類問題后,直接套用解題套路:
、倥判颍焊鶕(jù)5個小朋友分糖數(shù)量排列最多到最少分別為A、B、C、D、E。
、诙ㄎ唬阂笞钌俚男∨笥鸭碋的糖數(shù),設(shè)其為X。
、蹣(gòu)造數(shù)列:要使E最多,即要使其它人盡量少,而他們的糖數(shù)不能少于E。所以當(dāng)他們的糖數(shù)分別為X+4,X+3,X+2,X+1時滿足“盡量少”。
、芮蠛停篨+4+X+3+X+2+X+1+X=40,解得X=6,因而答案為D。
下面還有另一種變形。
【例4】5個小朋友分40塊糖,已知每個小朋友分得的糖數(shù)不同且必須分到糖,每人最多分到16塊,問分得糖數(shù)第三多的小朋友最少可以分到多少塊糖?()
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
、倥判颍焊鶕(jù)5個小朋友分糖數(shù)量排列最多到最少分別為A、B、C、D、E。
、诙ㄎ唬阂蟮氖堑谌嗟男∨笥鸭碈的糖數(shù),設(shè)其為X。
、蹣(gòu)造數(shù)列:要使第三多的小朋友最少,即要使其他人盡量多。那么A即分到16塊,B即分到15塊。D分到X-1塊,E分到X-2塊。
、芮蠛停16+15+X+X-1+X-2=40,則X=4,所以答案為A。
通過以上題型的講解,相信大家對于解決構(gòu)造數(shù)列問題也有了一定的思路與方法。那么我們最后再來看看文章開頭的真題如何解決。
、倥判颍汗7項活動100人參加,這7項活動根據(jù)參加人數(shù)從多到少分別為A、B、C、D、E、F、G。
、诙ㄎ唬阂蟮檬堑谒亩嗟幕顒蛹碊的人數(shù),設(shè)其為X。
、蹣(gòu)造數(shù)列:要使D的人數(shù)最多,即要使其它活動人數(shù)盡量少。則C為X+1,B為X+2,A為X+3;E、F、G分別為3、2、1人,這樣即可滿足其余活動人數(shù)“盡量少”的要求。
④求和:共100人,即X+3+X+2+X+1+X+3+2+1=100,解得X=22。所以第四多活動參與人數(shù)最多有22人,答案為A。
相信大家已經(jīng)發(fā)現(xiàn),構(gòu)造數(shù)列類問題在掌握其正確方法、思路后并不難解決,考生只要排序、定位、構(gòu)造數(shù)列、求和四步走,即可快速、準確地解決該類題型,在考試中節(jié)省大量時間。
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