數(shù)與代數(shù)
“數(shù)與代數(shù)”主要包括數(shù)的性質(zhì)、數(shù)的運(yùn)算以及多項(xiàng)式的計(jì)算等內(nèi)容。
在數(shù)學(xué)中,算術(shù)和數(shù)論這兩門(mén)知識(shí)正是研究整數(shù)性質(zhì)及其運(yùn)算的,算術(shù)實(shí)際就是小學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容,而數(shù)論則是研究整數(shù)性質(zhì)的更深層的理論。著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)先生為之奮斗一生的哥德巴赫猜想正是數(shù)論的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題,因此數(shù)論也被稱(chēng)為“數(shù)學(xué)的王冠”。當(dāng)然,本節(jié)主要以算術(shù)為主,如果有興趣,看一看數(shù)論的相關(guān)內(nèi)容對(duì)我們解題也是有幫助的。
算術(shù)方面,本節(jié)主要包括數(shù)的整除、平均數(shù)和多位數(shù);而“代數(shù)”則是“用符號(hào)表示數(shù)”,本節(jié)主要包括式子運(yùn)算,方程、函數(shù)與不等式以及特殊的函數(shù)——數(shù)列。
◎數(shù)的整除
我們知道,兩個(gè)整數(shù)的和、差、積仍然是整數(shù),但兩個(gè)整數(shù)的商卻未必是整數(shù),由此便引出了整除的概念。實(shí)際上,質(zhì)數(shù)與合數(shù)、余數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)等概念均由整除概念而來(lái)。
一、余數(shù)
今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問(wèn)物幾何?
術(shù)曰:三三數(shù)之,剩二,置一百四十;五五數(shù)之,剩三,置六十三;七七數(shù)之,剩二,置三十。并之,得二百三十三,以二百一十減之,即得。凡三三數(shù)之,剩一,則置七十;五五數(shù)之,剩一,則置二十一;七七數(shù)之,剩一,則置十五。一百六以上,以一百五減之即得。
——《孫子算經(jīng)》
《孫子算經(jīng)》成書(shū)大約是一千五百余年以前。而上面的這個(gè)問(wèn)題就是數(shù)論中的“剩余問(wèn)題”,千年以后仍然是有關(guān)余數(shù)的最重要的題目。其解法被稱(chēng)為“中國(guó)剩余定理”。
關(guān)于剩余定理這里就不再詳細(xì)解釋了,下面我們將主要講解公考中的余數(shù)問(wèn)題及其對(duì)策。
公考中,余數(shù)問(wèn)題主要包括基本余數(shù)問(wèn)題、剩余問(wèn)題兩類(lèi)問(wèn)題。
(一)基本余數(shù)問(wèn)題
余數(shù)基本恒等式:
被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)(0≤余數(shù)<除數(shù))
(二)剩余問(wèn)題
剩余問(wèn)題核心口訣:
余同取余,和同加和,差同減差,最小公倍數(shù)做周期
余同取余,例如“一個(gè)數(shù)除以7余1,除以6余1,除以5余1”,可見(jiàn)所得余數(shù)恒為1,則取1,被除數(shù)的表達(dá)式為210n+1;
和同加和,例如“一個(gè)數(shù)除以7余1,除以6余2,除以5余3”,可見(jiàn)除數(shù)與余數(shù)的和相同,取此和8,被除數(shù)的表達(dá)式為210n+8;
差同減差,例如“一個(gè)數(shù)除以7余3,除以6余2,除以5余1”,可見(jiàn)除數(shù)與余數(shù)的差相同,取此差4,被除數(shù)的表達(dá)式為210n-4。
二、約數(shù)與倍數(shù)
約數(shù)與倍數(shù)問(wèn)題的核心實(shí)際是最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)描述的是數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系,在解題中常有應(yīng)用。因此,掌握二者的求法是很必要的。
(一)約數(shù)問(wèn)題
最大公約數(shù)的求法:
(1)分解質(zhì)因數(shù)法:先分解質(zhì)因數(shù),然后取相同因數(shù)的乘積。
例如,2475=32×52×11,630=2×32×5×7,故2475與630的最大公約為32×5=45。
(2)短除法:從小到大依次求出兩數(shù)的公約數(shù),直至兩商互質(zhì),然后取所有公約數(shù)之積。
例如,
即2475與2310的最大公約數(shù)為3×5×11=165。
(3)輾轉(zhuǎn)相除法:用較小的數(shù)去除較大的數(shù),再用得到的余數(shù)去除較小的數(shù),再用得到的余數(shù)去除第一個(gè)余數(shù),依此類(lèi)推,直到最后余數(shù)為0,此時(shí)的除數(shù)即是兩數(shù)的最大公約數(shù)。
例如,
6315÷600=10……315
600÷315=1……285
315÷285=1……30
285÷30=9……15
30÷15=2
故6315與600的最大公約數(shù)為15。
(二)倍數(shù)問(wèn)題
最小公倍數(shù)的求法:
(1)分解質(zhì)因數(shù)法:先分解質(zhì)因數(shù),然后取所有不同底數(shù)的最高次冪的乘積。
例如,2100=22×3×52×7,990=2×32×5×11,故2100與990的最小公倍數(shù)為22×32×52×7×11=69300。
(2)短除法:從小到大依次求出兩數(shù)的公約數(shù),直至兩商互質(zhì),然后取所有公約數(shù)與最后兩商之積。
例如,
即2100與990的最小公倍數(shù)為2×3×5×70×33=69300。
三、奇數(shù)與偶數(shù)
全體整數(shù)按能否被2整除分為奇數(shù)和偶數(shù)。奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算規(guī)律是公考題經(jīng)?疾榈闹R(shí)點(diǎn)。
奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算規(guī)律:
(1)加法和減法:
奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)
奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)
偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)
即“同奇同偶則為偶,一奇一偶則為奇”。
(2)乘法:
奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)
奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)
偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)
即“乘數(shù)有偶則為偶,乘數(shù)無(wú)偶則為奇”。
(3)任何一個(gè)奇數(shù)必不等于任何一個(gè)偶數(shù)。
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