排列組合是組合學(xué)最基本的概念。所謂排列,就是指從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素進(jìn)行排序。組合則是指從給定個數(shù)的元素中僅僅取出指定個數(shù)的元素,不考慮排序。排列組合的中心問題是研究給定要求的排列和組合可能出現(xiàn)的情況總數(shù)。
排列:排列的字母表示是A(m,n),表達(dá)的意思是從n個元素中取出m個元素,進(jìn)行全排列(對m個元素進(jìn)行排序)。
組合:組合的字母表示是C(m,n),表達(dá)的意思是從n個元素中取m個元素,不進(jìn)行排列(對m個元素不進(jìn)行排序)。
排列與元素的順序有關(guān),組合與順序無關(guān)。如231與213是兩個排列,2+3+1的和與2+1+3的和是一個組合。下面4大方法教您巧做排列組合題型。
一、特殊優(yōu)先法
特殊元素,優(yōu)先處理;特殊位置,優(yōu)先考慮。
例:六人站成一排,求
(1)甲不在排頭,乙不在排尾的排列數(shù);
(2)甲不在排頭,乙不在排尾,且甲乙不相鄰的排法數(shù)。
分析:
(1)先考慮排頭,排尾,但這兩個要求相互有影響,因而考慮分類。
第一類:乙在排頭,有A(5,5)種站法;
第二類:乙不在排頭,當(dāng)然他也不能在排尾,有44A(4,4)種站法;
共A(5,5)+44A(4,4)種站法。
(2)第一類:甲在排尾,乙在排頭,有A(4,4)種方法;
第二類:甲在排尾,乙不在排頭,有3P(4,4)種方法;
第三類:乙在排頭,甲不在排頭,有4P(4,4)種方法;
第四類:甲不在排尾,乙不在排頭,有P(3,3) A(4,4)種方法;
共P(4,4)+3A(4,4)+4A(4,4)+A(3,3) A(4,4)=312種。
二、捆綁法與插空法
例1:某人射擊8槍,命中4槍,恰好有三槍連續(xù)命中,有多少種不同的情況?
分析:連續(xù)命中的三槍與單獨命中的一槍不能相鄰,因而這是一個插空問題。另外沒有命中的之間沒有區(qū)別,不必計數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個空中選出2個的排列,即A(5,2)。
例2:馬路上有編號為l,2,3,……10 十個路燈,為節(jié)約用電又看清路面,可以把其中的三只燈關(guān)掉,但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只,在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下,求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種?
分析:即關(guān)掉的燈不能相鄰,也不能在兩端。又因為燈與燈之間沒有區(qū)別,因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈。
共C(3,6)=20種方法。
三、隔板法
例:10個名額分配到八個班,每班至少一個名額,問有多少種不同的分配方法?
分析:把10個名額看成十個元素,把這10個元素任意分成8份,并且每份至少有一個類似該種思維,實際上就是在這十個元素之間形成的九個空中,選出七個位置放置檔板,就可以很形象的達(dá)到目標(biāo)。
四、間接計數(shù)法
例:三行三列共九個點,以這些點為頂點可組成多少個三角形?
分析:有些問題正面求解有一定困難,可以采用間接法。
比如說該題直接去求三角形的個數(shù)分類太多,比較復(fù)雜;換個方式思考,所求問題的方法數(shù)=任意三個點的組合數(shù)-三點共線的情況數(shù)。
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