在公務(wù)員考試中，在數(shù)學(xué)運(yùn)算部分有每年必考題型——排列組合。一般情況下不管省考還是國考每年都會(huì)出現(xiàn)一道題目，并從近幾年公務(wù)員考試的命題趨勢來看，這一題型的難度也有逐年上升的趨勢，考察形式也比較多樣化。環(huán)形排列、隔板模型、錯(cuò)位重排等都是排列組合中的經(jīng)典模型，對(duì)于這些題型如果大家沒有系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過，看到一個(gè)題后就去硬著頭皮去做，這樣是很浪費(fèi)時(shí)間的，一般也易做錯(cuò)，但如果大家了解這些題型所涉及的原理及其結(jié)論，只要在考試時(shí)大家能準(zhǔn)確的區(qū)分題型，那對(duì)于這一類題目就是簡單的計(jì)算問題了。接下來就給大家介紹一下錯(cuò)位重排的結(jié)論。
錯(cuò)位重排問題是伯努利和歐拉在錯(cuò)裝信封時(shí)發(fā)現(xiàn)的，因此又稱伯努利-歐拉裝錯(cuò)信封問題。表述為：編號(hào)是1、2、…、n的n封信，裝入編號(hào)為1、2、…、n的n個(gè)信封，要求每封信和信封的編號(hào)不同，問有多少種裝法?
解析：假設(shè)用Dn來表示n封信進(jìn)行錯(cuò)位重排的方法數(shù)，我們不難得出以下結(jié)論：
(1) n=1, D1=0;1封信是不能進(jìn)行錯(cuò)位重排的;
(2) n=2，D2=1;2封信的時(shí)候只能相互對(duì)調(diào)只有1種方法;
(3) n=3，D3=2×(D1+D2)=2×(0+1)=2;
(4) n=4，D4=3×(D2+D3)=3×(1+2)=9;
(5) n=5，D5=4×(D3+D4)=4×(2+9)=44;
(6) n=6，D6=5×(D4+D5)=5×(9+44)=265;
(7) n=n，Dn=(n-1)×(Dn-2+Dn-1);
對(duì)于第一封信只要不裝在1號(hào)信封即可，因此有n-1種裝法，剩下的還有n-1封信沒有裝信封，其有兩種情況。第一種情況：假設(shè)第一封信裝進(jìn)2號(hào)信封，第二封信裝進(jìn)1號(hào)信封，則此時(shí)剩下n-2封信件，這些信件再進(jìn)行錯(cuò)位重排有Dn-2種方法;第二種情況：假設(shè)第一封信裝進(jìn)2號(hào)信封，這時(shí)候?qū)⑵淠贸�，那最后剩余n-1封信，滿足編號(hào)2不放1號(hào)信封、3號(hào)不放2號(hào)信封，則變成n-1封信的錯(cuò)位重排，因此有Dn-1種裝法。我們都知道排列組合是建立在分類分步思想之下的，因此n封信件的錯(cuò)位重排就是Dn=(n-1)×(Dn-2+Dn-1)。在考試中一般n 6,因此大家在做題時(shí)只要能區(qū)分題型，記住n=1,2,3的錯(cuò)位重排數(shù)即可，按照我們的結(jié)論再難的題也能夠通過簡單的計(jì)算得出。
下面主要通過幾個(gè)練習(xí)題來鞏固一下錯(cuò)位重排的結(jié)論。
例1：四位廚師聚餐時(shí)各做了一道拿手菜，現(xiàn)在要求每個(gè)人去品嘗一道菜，但不能嘗自己做的那道菜，問共有幾種不同的嘗法?
A.6 B.9 C.12 D.15
【答案】B。解析：此題為4個(gè)元素的錯(cuò)位重排有9種方式，故選B選項(xiàng)。
例2：編號(hào)為1至6的6個(gè)小球放入編號(hào)為1至6個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一
個(gè)小球，其中恰有2個(gè)小球與盒子的編號(hào)相同的放法有多少種?
A.9 B.35 C.135 D.265
【答案】C。解析：選取編號(hào)相同的兩組球與盒子的方法為 =15種，其余4組球與盒子進(jìn)行錯(cuò)位重排為9種方法，因此總的排序方式為15×9=135種，故答案選C。
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