所謂容斥問題，簡單來說就是利用集合的思想來處理的問題，通常的處理方法是借助文氏圖來解決。然而，對于大多數(shù)考生而言，兩個集合尚無問題，一旦上升到三個及其以上的集合，問題就出現(xiàn)了，基礎不好的考生就很難在短時間內(nèi)把圖形弄清楚了。因此，我們對此作一個高度的總結，把常見題型概括為固定公式，以后遇到此類問題，直接套公式就行了。

　　一.兩個集合

　　公式一：設選集合A1的有a1人，選集合A2的有a2人，兩個集合都選的有n人，選擇集合A或集合B的有x人，則：

　　x=a1+a2-n

　　例一：運動會上共有50人，依次編號1-50，編號為4的倍數(shù)的參加跳遠，編號為6的倍數(shù)的參加跳高。問參加跳遠或跳高的一共多少人?

　　解析：易得參加跳遠共有12人，參加跳高共有8人。由于4和6的最小公倍數(shù)為12，所以既參加跳遠有參加跳高的人員為12的倍數(shù)，共有4人。因此由公式一，參加跳遠或跳高的一共

　　12+8-4=16(人)

　　公式二：設選擇集合A或集合B的有x人，既不選擇A又不選擇B的有y人，總人數(shù)有s人，則：

　　s=x+y

　　例二：某班共有30人，其中有22人喜歡美術課，25人喜歡體育課，兩種課程都喜歡的有18人。問兩種課程都不喜歡的有幾人?

　　解析：由公式一，喜歡美術課或者體育課的有

　　22+25-18=29(人)

　　又共有30人，所以由公式二，兩種課程都不喜歡的有

　　30-29=1(人)

　　二.三個集合

　　公式三：設選集合A1的有a1人，選集合A2的有a2人，選擇集合A3的有a3人，只選了兩門的有m人，三門都選的有n人，至少選一門的有x人，一門都不選的有y人，共有s人，則：

　�、� x=a1+a2+a3-m-2n

　�、� s=x+y

　　例三：某考察團成員母語均為中文，其中有1人只會說母語，有10人會說英語，有6人會說法語，有4人會說西班牙語，有5人會說上述三種外語中的兩種，有2人上述三種外語都會說。問該考察團共有多少人?

　　解析：由公式三①，至少會一種外語的有

　　10+6+4-5-2×2=11(人)

　　又一種外語都不會的只有1人，再由公式三②，該考察團共有

　　11+1=12(人)

　　公式四：設選集合A1的有a1人，選集合A2的有a2人，選擇集合A3的有a3人，既選A又選B的有b1人，既選A又選C的有b2人，既選B又選C的有b3人，三門都選的有n人，至少選一門的有x人，一門都不選的有y人，共有s人，則：

　�、� x=a1+a2+a3-b1-b2-b3+n

　�、� s=x+y

　　例四：對39種食物中是否含有甲、乙、丙三種維生素進行調(diào)查，結果如下：含甲的有17種，含乙的有18種，含丙的有15種，含甲、乙的有7種，含甲、丙的有6種，含乙、丙的有9種，三種維生素都不含的有7種，則三種維生素都含的有多少種?

　　解析：因為共有39種，三種維生素都不含的有7種，由公式四②，至少含一種維生素的有

　　39-7=32(種)

　　設三種維生素都含的有n種，則由公式四①

　　32=17+18+15-7-6-9+n

　　易得，n=4。所以，三種維生素都含的有4種。

　　三：極值問題

　　公式五：設選集合A1的有a1人，選集合A2的有a2人，……，選集合An的有an人，共有s人，則這n個集合都選的

　�、� 至多有：min{a1,a2,……,an}(人)

　�、� 至少有：a1+a2+……+an-(n-1)a0(人)

　　例五：某工廠一季度有80%人全勤，二季度有85%人全勤，三季度有90%人全勤，四季度有95%人全勤。問：全年全勤的人(1)至多占全廠人數(shù)的百分之幾?(2)至少占全廠人數(shù)的百分之幾?

　　解析：

　　(1)由公式五①，至多占

　　min{80%,85%,90%,95%}=80%

　　(2)注意到是4個集合，即n=4，由公式五②，至少占

　　80%+85%+90%+95%-(4-1) ×100%=50%

　　通過上述幾個例題，考生們能夠深刻地感受到，這種公式法在實戰(zhàn)當中的強大之處。以后大家遇到此類容斥問題時，就不需要再復雜地畫文氏圖了，只需要分析清楚題目類型，再相應地套用公式即可。

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