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    公務(wù)員考試數(shù)量關(guān)系之容斥問題解題原理及方法

      例3 某班同學(xué)中有39人打籃球,37人跑步,25人既打籃球又跑步,問全班參加籃球、跑步這兩項體育活動的總?cè)藬?shù)是多少?

      解:設(shè)A={打籃球的同學(xué)};B={跑步的同學(xué)}

      則 A∩B={既打籃球又跑步的同學(xué)}

      A∪B={參加打籃球或跑步的同學(xué)}

      應(yīng)用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51(人)

      例4 求在不超過100的自然數(shù)中,不是5的倍數(shù),也不是7的倍數(shù)有多少個?

      分析:這個問題與前幾個例題看似不相同,不能直接運(yùn)用容斥原理,要計算的是“既不是5的倍數(shù),也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)。”但是,只要同學(xué)們仔細(xì)分析題意,這只需先算出“100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)!痹購100中減去就行了。

      解:設(shè)A={100以內(nèi)的5的倍數(shù)}

      B={100以內(nèi)的7的倍數(shù)}

      A∩B={100以內(nèi)的35的倍數(shù)}

      A∪B={100以內(nèi)的5的倍數(shù)或7的倍數(shù)}

      則有∣A∣=20,∣B∣=14,∣A∩B∣=2

      由容斥原理一有:∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=20+14-2=32

      因此,不是5的倍數(shù),也不是7的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)是:100-32=68(個)

      點評:從以上的解答可體會出一種重要的解題思想:有些問題表面上看好象很不一樣,但經(jīng)過細(xì)心的推敲就會發(fā)現(xiàn)它們之間有著緊密的聯(lián)系,應(yīng)當(dāng)善于將一個問題轉(zhuǎn)化為另一個問題。

      例5 某年級的課外學(xué)科小組分為數(shù)學(xué)、語文、外語三個小組,參加數(shù)學(xué)小組的有23人,參加語文小組的有27人,參加外語小組的有18人;同時參加數(shù)學(xué)、語文兩個小組的有4人,同時參加數(shù)學(xué)、外語小組的有7人,同時參加語文、外語小組的有5人;三個小組都參加的有2人。問:這個年級參加課外學(xué)科小組共有多少人?

      解1:設(shè)A={數(shù)學(xué)小組的同學(xué)},B={語文小組的同學(xué)},C={外語小組的同學(xué)},A∩B={數(shù)學(xué)、語文小組的同學(xué)},A∩C={參加數(shù)學(xué)、外語小組的同學(xué)},B∩C={參加語文、外語小組的同學(xué)},A∩B∩C={三個小組都參加的同學(xué)}

      由題意知:∣A∣=23,∣B∣=27,∣C∣=18

      ∣A∩B∣=4,∣A∩C∣=7,∣B∩C∣=5,∣A∩B∩C∣=2

      根據(jù)容斥原理二得:

      ∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣

      =23+27+18-(4+5+7)+2

      =54(人)

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